2013.11.07
V challenge!! 高校入試問題に挑戦(数学 解答)

〈進研Vもぎ「県立そっくりもぎ(11/3)受験の皆さんへ」〉

                  昭和学院高等学校(平成25年度入試 数学)
右図のように、放物線 y=aχ2 と直線 y=bχ+4 が2点P,Qで交わっている。
点Pの座標が(-2,8)であるとき、次の問いに答えよ。V-challenge

(1)a,bの値を求めよ。

(2)点Qの座標を求めよ。

(3)点Qを通って△OPQの面積を2等分する直線の式
   を求めよ。

[答]    (1)a=2、b=-2
     (2)Q(1,2)
     (3)y=-χ+3
〈解説〉
      (1)放物線y=aχ2 が点P(-2,8)を通るので
        8=a×(-2)2    a=2
        直線 y=bχ+4も点P(-2,8)を通るので
        8=b×(-2)+4  b=-2
     (2)放物線y=2χ2 と直線y=-2x+4の交点を求め
        る。
        2χ2 =-2χ+4       2χ2 +2χ-4=0
          両辺を2で割って                χ2 + χ-2=0
        (χ+2)(χ-1)=0       χ=-2、1
       y=-2×(-2)+4より  y=8
       y=-2×( 1)+4より  y=2
       点P(-2,8) 点Q(1,2)
     (3)△OPQの面積を2等分する直線は、線分OPの中点(-1,4)と点Q(1,2)の2つの点を
        通る直線である。

        求める直線をy=cχ+dとすると中点(-1,4)を通るので
         4=c×(-1)+d  4=-c+d・・・①
                   点Q(1,2)を通ることより
         2=c×1+d     2= c+d・・・②
        ①、②より c=-1、d=3
         直線の式 y=-χ+3