〈進研Ｖもぎ「県立そっくりもぎ（11/3）受験の皆さんへ」〉

　　　　　　　　　　　　　　　　　　昭和学院高等学校（平成25年度入試　数学）
右図のように、放物線 ｙ＝ａχ² と直線 ｙ＝ｂχ＋４ が２点Ｐ，Ｑで交わっている。
点Ｐの座標が（－２，８）であるとき、次の問いに答えよ。

（１）ａ，ｂの値を求めよ。

（２）点Ｑの座標を求めよ。

（３）点Ｑを通って△ＯＰＱの面積を２等分する直線の式
　　　を求めよ。

［答］　   （１）ａ＝２、ｂ＝－２
　　　　　（２）Ｑ（１，２）
　　　　　（３）ｙ＝－χ＋３
〈解説〉
　　　　  （１）放物線ｙ＝ａχ² が点Ｐ（－２，８）を通るので
　　　　　　　　８＝ａ×（－２）²　　　　ａ＝２
　　　　　　　　直線　ｙ＝ｂχ＋４も点Ｐ（－２，８）を通るので
　　　　　　　　８＝ｂ×（－２）＋４　　ｂ＝－２
　　　　　（２）放物線ｙ＝２χ² と直線ｙ＝－２ｘ＋４の交点を求め
　　　　　　　　る。
　　　　　　　　２χ² ＝－２χ＋４　　　　　　 ２χ² ＋２χ－４＝０
　　　　　　　　　　両辺を２で割って               　χ² ＋　χ－２＝０
　　　　　　　　（χ＋２）（χ－１）＝０　　　　　　　χ＝－２、１
　　　　　　　ｙ＝－２×（－２）＋４より　　ｙ＝８
　　　　　　　ｙ＝－２×（　１）＋４より　　ｙ＝２
　　　　　　　点Ｐ（－２，８）　点Ｑ（１，２）
　　　　　（３）△ＯＰＱの面積を２等分する直線は、線分ＯＰの中点（－１，４）と点Ｑ（１，２）の２つの点を
　　　　　　　　通る直線である。

　　　　　　　　求める直線をｙ＝ｃχ＋ｄとすると中点（－１，４）を通るので
　　　　　　　　　４＝ｃ×（－１）＋ｄ　　４＝－ｃ＋ｄ・・・①
                 　　点Ｑ（１，２）を通ることより
　　　　　　　　　２＝ｃ×１＋ｄ　　　　　２＝　ｃ＋ｄ・・・②
　　　　　　　　①、②より　ｃ＝－１、ｄ＝３
　　　　　　　　　直線の式　ｙ＝－χ＋３